Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118800 / 53264
↖ ↑ ↗
← N 31.914868°
E146.293945°		 ← 259.26 m → N 31.914868°
E146.296692°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
N 31.912536°
E146.293945°		 ← 259.26 m →
67 209 m²		 N 31.912536°
E146.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906375885009766 y=0.406375885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906375885009766 × 217)
    floor (0.906375885009766 × 131072)
    floor (118800.5)     		tx = 118800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406375885009766 × 217)
    floor (0.406375885009766 × 131072)
    floor (53264.5)     		ty = 53264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118800 / 53264 ti = "17/118800/53264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118800/53264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118800 ÷ 217
    118800 ÷ 131072     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53264 ÷ 217
    53264 ÷ 131072     		y = 0.4063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.588281632137329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588281632137329))-π/2
    2×atan(1.80089116155307)-π/2
    2×1.06390792252527-π/2
    2.12781584505054-1.57079632675     		φ = 0.55701952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55701952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.914868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118800 KachelY 53264 2.55331102 0.55701952 146.293945 31.914868
    Oben rechts KachelX + 1 118801 KachelY 53264 2.55335896 0.55701952 146.296692 31.914868
    Unten links KachelX 118800 KachelY + 1 53265 2.55331102 0.55697883 146.293945 31.912536
    Unten rechts KachelX + 1 118801 KachelY + 1 53265 2.55335896 0.55697883 146.296692 31.912536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55701952-0.55697883) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dl = 259.235989999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55701952-0.55697883) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dr = 259.235989999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(0.55701952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848834535317246 × 6371000     		do = 259.255916086656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(0.55697883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848856045733603 × 6371000     		du = 259.26248592149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55701952)-sin(0.55697883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848834535317246-0.848856045733603)×R²
    abs(2.55335896-2.55331102)×2.15104163577839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15104163577839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15104163577839e-05×40589641000000     		ar = 67209.31564808m²