Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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4 / 12 / 13
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E 90.000000°		 ← 688.793 km → S 74.019543°
E112.500000°		 →
↑
572.853 km
↓
↑
572.853 km
↓
S 79.171334°
E 90.000000°		 ← 470.036 km →
332 143 km²		 S 79.171334°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78125 y=0.84375 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78125 × 24)
    floor (0.78125 × 16)
    floor (12.5)     		tx = 12
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.84375 × 24)
    floor (0.84375 × 16)
    floor (13.5)     		ty = 13
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 12 / 13 ti = "4/12/13"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/12/13.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12 ÷ 24
    12 ÷ 16     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13 ÷ 24
    13 ÷ 16     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12 KachelY 13 1.57079633 -1.29188474 90.000000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 13 KachelY 13 1.96349541 -1.29188474 112.500000 -74.019543
    Unten links KachelX 12 KachelY + 1 14 1.57079633 -1.38180046 90.000000 -79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 13 KachelY + 1 14 1.96349541 -1.38180046 112.500000 -79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.38180046) × R
    0.08991572 × 6371000     		dl = 572853.05212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.38180046) × R
    0.08991572 × 6371000     		dr = 572853.05212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.96349541) × cos(-1.29188474) × R
    0.39269908 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 688792.8383513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.96349541) × cos(-1.38180046) × R
    0.39269908 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 470036.139850426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.187872736870527)×R²
    abs(1.96349541-1.57079633)×0.0874367227788023×R²
    0.39269908×0.0874367227788023×6371000²
    0.39269908×0.0874367227788023×40589641000000     		ar = 332143165621.128m²