Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 120 / 185
↖ ↑ ↗
← S 62.267923°
W 11.250000°		 ← 72.764 km → S 62.267923°
W  9.843750°		 →
↑
71.978 km
↓
↑
71.978 km
↓
S 62.915233°
W 11.250000°		 ← 71.196 km →
5 180.99 km²		 S 62.915233°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470703125 y=0.724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470703125 × 28)
    floor (0.470703125 × 256)
    floor (120.5)     		tx = 120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724609375 × 28)
    floor (0.724609375 × 256)
    floor (185.5)     		ty = 185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 120 / 185 ti = "8/120/185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/120/185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120 ÷ 28
    120 ÷ 256     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 185 ÷ 28
    185 ÷ 256     		y = 0.72265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72265625 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39899047851172))-π/2
    2×atan(0.246846034575576)-π/2
    2×0.242008029276541-π/2
    0.484016058553082-1.57079632675     		φ = -1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120 KachelY 185 -0.19634954 -1.08678027 -11.250000 -62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 121 KachelY 185 -0.17180585 -1.08678027 -9.843750 -62.267923
    Unten links KachelX 120 KachelY + 1 186 -0.19634954 -1.09807797 -11.250000 -62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 121 KachelY + 1 186 -0.17180585 -1.09807797 -9.843750 -62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08678027--1.09807797) × R
    0.0112977000000001 × 6371000     		dl = 71977.6467000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08678027--1.09807797) × R
    0.0112977000000001 × 6371000     		dr = 71977.6467000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.17180585) × cos(-1.08678027) × R
    0.02454369 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 72763.8495746152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.17180585) × cos(-1.09807797) × R
    0.02454369 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 71195.5653964473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08678027)-sin(-1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.455308209816203)×R²
    abs(-0.17180585--0.19634954)×0.010029454189577×R²
    0.02454369×0.010029454189577×6371000²
    0.02454369×0.010029454189577×40589641000000     		ar = 5180985062.63864m²