Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 120 / 57
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
E157.500000°		 ← 295.140 km → N 19.311143°
E160.312500°		 →
↑
297.441 km
↓
↑
297.441 km
↓
N 16.636192°
E157.500000°		 ← 299.645 km →
88 472.9 km²		 N 16.636192°
E160.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94140625 y=0.44921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94140625 × 27)
    floor (0.94140625 × 128)
    floor (120.5)     		tx = 120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44921875 × 27)
    floor (0.44921875 × 128)
    floor (57.5)     		ty = 57
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 120 / 57 ti = "7/120/57"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/120/57.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120 ÷ 27
    120 ÷ 128     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57 ÷ 27
    57 ÷ 128     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120 KachelY 57 2.74889357 0.33704303 157.500000 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 121 KachelY 57 2.79798096 0.33704303 160.312500 19.311143
    Unten links KachelX 120 KachelY + 1 58 2.74889357 0.29035632 157.500000 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 121 KachelY + 1 58 2.79798096 0.29035632 160.312500 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.29035632) × R
    0.04668671 × 6371000     		dl = 297441.02941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.29035632) × R
    0.04668671 × 6371000     		dr = 297441.02941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.79798096) × cos(0.33704303) × R
    0.04908739 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 295140.201277355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.79798096) × cos(0.29035632) × R
    0.04908739 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 299645.244467679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.958141924186794)×R²
    abs(2.79798096-2.74889357)×0.0144052703342241×R²
    0.04908739×0.0144052703342241×6371000²
    0.04908739×0.0144052703342241×40589641000000     		ar = 88472868196.4745m²