Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12032 / 21248
↖ ↑ ↗
← S 47.040182°
W 47.812500°		 ← 832.53 m → S 47.040182°
W 47.801514°		 →
↑
832.43 m
↓
↑
832.43 m
↓
S 47.047668°
W 47.812500°		 ← 832.41 m →
692 978 m²		 S 47.047668°
W 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367202758789062 y=0.648452758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367202758789062 × 215)
    floor (0.367202758789062 × 32768)
    floor (12032.5)     		tx = 12032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648452758789062 × 215)
    floor (0.648452758789062 × 32768)
    floor (21248.5)     		ty = 21248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12032 / 21248 ti = "15/12032/21248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12032/21248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12032 ÷ 215
    12032 ÷ 32768     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21248 ÷ 215
    21248 ÷ 32768     		y = 0.6484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6484375 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932660319007813))-π/2
    2×atan(0.393505466585958)-π/2
    2×0.37489513382417-π/2
    0.749790267648339-1.57079632675     		φ = -0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12032 KachelY 21248 -0.83448555 -0.82100606 -47.812500 -47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 12033 KachelY 21248 -0.83429380 -0.82100606 -47.801514 -47.040182
    Unten links KachelX 12032 KachelY + 1 21249 -0.83448555 -0.82113672 -47.812500 -47.047668
    Unten rechts KachelX + 1 12033 KachelY + 1 21249 -0.83429380 -0.82113672 -47.801514 -47.047668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82100606--0.82113672) × R
    0.00013066000000006 × 6371000     		dl = 832.434860000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82100606--0.82113672) × R
    0.00013066000000006 × 6371000     		dr = 832.434860000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83429380) × cos(-0.82100606) × R
    0.000191750000000046 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 832.529173163266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83429380) × cos(-0.82113672) × R
    0.000191750000000046 × 0.681389658619029 × 6371000     		du = 832.412351513306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82100606)-sin(-0.82113672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.681389658619029)×R²
    abs(-0.83429380--0.83448555)×9.56269618545003e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56269618545003e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56269618545003e-05×40589641000000     		ar = 692977.683487413m²