Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12034 / 21250
↖ ↑ ↗
← S 47.055154°
W 47.790527°		 ← 832.25 m → S 47.055154°
W 47.779541°		 →
↑
832.24 m
↓
↑
832.24 m
↓
S 47.062639°
W 47.790527°		 ← 832.14 m →
692 588 m²		 S 47.062639°
W 47.779541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367263793945312 y=0.648513793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367263793945312 × 215)
    floor (0.367263793945312 × 32768)
    floor (12034.5)     		tx = 12034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648513793945312 × 215)
    floor (0.648513793945312 × 32768)
    floor (21250.5)     		ty = 21250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12034 / 21250 ti = "15/12034/21250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12034/21250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12034 ÷ 215
    12034 ÷ 32768     		x = 0.36724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21250 ÷ 215
    21250 ÷ 32768     		y = 0.64849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83410205} λ = -0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933043814204773))-π/2
    2×atan(0.393354588061988)-π/2
    2×0.374764478993884-π/2
    0.749528957987769-1.57079632675     		φ = -0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12034 KachelY 21250 -0.83410205 -0.82126737 -47.790527 -47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 12035 KachelY 21250 -0.83391031 -0.82126737 -47.779541 -47.055154
    Unten links KachelX 12034 KachelY + 1 21251 -0.83410205 -0.82139800 -47.790527 -47.062639
    Unten rechts KachelX + 1 12035 KachelY + 1 21251 -0.83391031 -0.82139800 -47.779541 -47.062639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82126737--0.82139800) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dl = 832.243729999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82126737--0.82139800) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dr = 832.243729999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83410205--0.83391031) × cos(-0.82126737) × R
    0.000191739999999996 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 832.252119352193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83410205--0.83391031) × cos(-0.82139800) × R
    0.000191739999999996 × 0.681198399082782 × 6371000     		du = 832.135302206667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82126737)-sin(-0.82139800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.681198399082782)×R²
    abs(-0.83391031--0.83410205)×9.56282617823323e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56282617823323e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56282617823323e-05×40589641000000     		ar = 692587.998925919m²