Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1216 / 1217
↖ ↑ ↗
← S 32.101189°
E 33.750000°		 ← 16.558 km → S 32.101189°
E 33.925781°		 →
↑
16.544 km
↓
↑
16.544 km
↓
S 32.249975°
E 33.750000°		 ← 16.531 km →
273.708 km²		 S 32.249975°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593994140625 y=0.594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593994140625 × 211)
    floor (0.593994140625 × 2048)
    floor (1216.5)     		tx = 1216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594482421875 × 211)
    floor (0.594482421875 × 2048)
    floor (1217.5)     		ty = 1217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1216 / 1217 ti = "11/1216/1217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1216/1217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1216 ÷ 211
    1216 ÷ 2048     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1217 ÷ 211
    1217 ÷ 2048     		y = 0.59423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592116584106934))-π/2
    2×atan(0.553155245211266)-π/2
    2×0.505262436086418-π/2
    1.01052487217284-1.57079632675     		φ = -0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1216 KachelY 1217 0.58904862 -0.56027145 33.750000 -32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 1217 KachelY 1217 0.59211658 -0.56027145 33.925781 -32.101189
    Unten links KachelX 1216 KachelY + 1 1218 0.58904862 -0.56286824 33.750000 -32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 1217 KachelY + 1 1218 0.59211658 -0.56286824 33.925781 -32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56027145--0.56286824) × R
    0.00259679000000002 × 6371000     		dl = 16544.1490900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56027145--0.56286824) × R
    0.00259679000000002 × 6371000     		dr = 16544.1490900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(-0.56027145) × R
    0.00306795999999998 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 16557.6067059328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(-0.56286824) × R
    0.00306795999999998 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 16530.5779321981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56027145)-sin(-0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.845728058505028)×R²
    abs(0.59211658-0.58904862)×0.00138283080169377×R²
    0.00306795999999998×0.00138283080169377×6371000²
    0.00306795999999998×0.00138283080169377×40589641000000     		ar = 273708083.693758m²