Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12160 / 12672
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
E 87.187500°		 ← 849.38 m → S 69.657086°
E 87.209473°		 →
↑
849.25 m
↓
↑
849.25 m
↓
S 69.664724°
E 87.187500°		 ← 849.07 m →
721 207 m²		 S 69.664724°
E 87.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742218017578125 y=0.773468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742218017578125 × 214)
    floor (0.742218017578125 × 16384)
    floor (12160.5)     		tx = 12160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773468017578125 × 214)
    floor (0.773468017578125 × 16384)
    floor (12672.5)     		ty = 12672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12160 / 12672 ti = "14/12160/12672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12160/12672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12160 ÷ 214
    12160 ÷ 16384     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12672 ÷ 214
    12672 ÷ 16384     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12160 KachelY 12672 1.52170894 -1.21574550 87.187500 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 12161 KachelY 12672 1.52209244 -1.21574550 87.209473 -69.657086
    Unten links KachelX 12160 KachelY + 1 12673 1.52170894 -1.21587880 87.187500 -69.664724
    Unten rechts KachelX + 1 12161 KachelY + 1 12673 1.52209244 -1.21587880 87.209473 -69.664724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21587880) × R
    0.000133300000000114 × 6371000     		dl = 849.254300000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21587880) × R
    0.000133300000000114 × 6371000     		dr = 849.254300000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(-1.21574550) × R
    0.000383500000000092 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 849.376505796734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(-1.21587880) × R
    0.000383500000000092 × 0.34751303334256 × 6371000     		du = 849.071122835863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21587880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.34751303334256)×R²
    abs(1.52209244-1.52170894)×0.000124989010000687×R²
    0.000383500000000092×0.000124989010000687×6371000²
    0.000383500000000092×0.000124989010000687×40589641000000     		ar = 721206.97703833m²