Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12160 / 21376
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 46.406250°		 ← 817.60 m → S 47.989922°
W 46.395264°		 →
↑
817.53 m
↓
↑
817.53 m
↓
S 47.997274°
W 46.406250°		 ← 817.48 m →
668 359 m²		 S 47.997274°
W 46.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371109008789062 y=0.652359008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371109008789062 × 215)
    floor (0.371109008789062 × 32768)
    floor (12160.5)     		tx = 12160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652359008789062 × 215)
    floor (0.652359008789062 × 32768)
    floor (21376.5)     		ty = 21376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12160 / 21376 ti = "15/12160/21376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12160/21376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12160 ÷ 215
    12160 ÷ 32768     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21376 ÷ 215
    21376 ÷ 32768     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12160 KachelY 21376 -0.80994186 -0.83758214 -46.406250 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 12161 KachelY 21376 -0.80975011 -0.83758214 -46.395264 -47.989922
    Unten links KachelX 12160 KachelY + 1 21377 -0.80994186 -0.83771046 -46.406250 -47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 12161 KachelY + 1 21377 -0.80975011 -0.83771046 -46.395264 -47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.83771046) × R
    0.000128320000000071 × 6371000     		dl = 817.52672000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.83771046) × R
    0.000128320000000071 × 6371000     		dr = 817.52672000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80975011) × cos(-0.83758214) × R
    0.000191750000000046 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 817.595892001181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80975011) × cos(-0.83771046) × R
    0.000191750000000046 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 817.479407783749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.669165965143599)×R²
    abs(-0.80975011--0.80994186)×9.53507489486194e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53507489486194e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53507489486194e-05×40589641000000     		ar = 668358.874310895m²