Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12160 / 3968
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 87.187500°		 ← 930.70 m → N 67.609220°
E 87.209473°		 →
↑
930.80 m
↓
↑
930.80 m
↓
N 67.600849°
E 87.187500°		 ← 931.03 m →
866 450 m²		 N 67.600849°
E 87.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742218017578125 y=0.242218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742218017578125 × 214)
    floor (0.742218017578125 × 16384)
    floor (12160.5)     		tx = 12160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242218017578125 × 214)
    floor (0.242218017578125 × 16384)
    floor (3968.5)     		ty = 3968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12160 / 3968 ti = "14/12160/3968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12160/3968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12160 ÷ 214
    12160 ÷ 16384     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3968 ÷ 214
    3968 ÷ 16384     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12160 KachelY 3968 1.52170894 1.18000350 87.187500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 12161 KachelY 3968 1.52209244 1.18000350 87.209473 67.609220
    Unten links KachelX 12160 KachelY + 1 3969 1.52170894 1.17985740 87.187500 67.600849
    Unten rechts KachelX + 1 12161 KachelY + 1 3969 1.52209244 1.17985740 87.209473 67.600849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17985740) × R
    0.000146100000000038 × 6371000     		dl = 930.803100000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17985740) × R
    0.000146100000000038 × 6371000     		dr = 930.803100000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(1.18000350) × R
    0.000383500000000092 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 930.697526741433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(1.17985740) × R
    0.000383500000000092 × 0.381056669310797 × 6371000     		du = 931.027567408904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17985740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.381056669310797)×R²
    abs(1.52209244-1.52170894)×0.000135081067291709×R²
    0.000383500000000092×0.000135081067291709×6371000²
    0.000383500000000092×0.000135081067291709×40589641000000     		ar = 866449.746032261m²