Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1217 / 449
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
E 33.925781°		 ← 6 507.18 m → N 70.554179°
E 34.101563°		 →
↑
6 516.58 m
↓
↑
6 516.58 m
↓
N 70.495574°
E 33.925781°		 ← 6 526.02 m →
42 465 932 m²		 N 70.495574°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594482421875 y=0.219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594482421875 × 211)
    floor (0.594482421875 × 2048)
    floor (1217.5)     		tx = 1217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219482421875 × 211)
    floor (0.219482421875 × 2048)
    floor (449.5)     		ty = 449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1217 / 449 ti = "11/1217/449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1217/449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1217 ÷ 211
    1217 ÷ 2048     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 449 ÷ 211
    449 ÷ 2048     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1217 KachelY 449 0.59211658 1.23140272 33.925781 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 1218 KachelY 449 0.59518455 1.23140272 34.101563 70.554179
    Unten links KachelX 1217 KachelY + 1 450 0.59211658 1.23037987 33.925781 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 1218 KachelY + 1 450 0.59518455 1.23037987 34.101563 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23037987) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dl = 6516.57735000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23037987) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dr = 6516.57735000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59518455) × cos(1.23140272) × R
    0.00306797000000003 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 6507.17572208567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59518455) × cos(1.23037987) × R
    0.00306797000000003 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 6526.02453144563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333879679796468)×R²
    abs(0.59518455-0.59211658)×0.000964328957594962×R²
    0.00306797000000003×0.000964328957594962×6371000²
    0.00306797000000003×0.000964328957594962×40589641000000     		ar = 42465932.4874839m²