Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12192 / 20384
↖ ↑ ↗
← S 40.178873°
W 46.054687°		 ← 933.33 m → S 40.178873°
W 46.043701°		 →
↑
933.29 m
↓
↑
933.29 m
↓
S 40.187267°
W 46.054687°		 ← 933.21 m →
871 007 m²		 S 40.187267°
W 46.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372085571289062 y=0.622085571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372085571289062 × 215)
    floor (0.372085571289062 × 32768)
    floor (12192.5)     		tx = 12192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622085571289062 × 215)
    floor (0.622085571289062 × 32768)
    floor (20384.5)     		ty = 20384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12192 / 20384 ti = "15/12192/20384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12192/20384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12192 ÷ 215
    12192 ÷ 32768     		x = 0.3720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20384 ÷ 215
    20384 ÷ 32768     		y = 0.6220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3720703125 × 2 - 1) × π
    -0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80380593} λ = -0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766990393920898))-π/2
    2×atan(0.464408654284933)-π/2
    2×0.434771348867302-π/2
    0.869542697734605-1.57079632675     		φ = -0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12192 KachelY 20384 -0.80380593 -0.70125363 -46.054687 -40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 12193 KachelY 20384 -0.80361419 -0.70125363 -46.043701 -40.178873
    Unten links KachelX 12192 KachelY + 1 20385 -0.80380593 -0.70140012 -46.054687 -40.187267
    Unten rechts KachelX + 1 12193 KachelY + 1 20385 -0.80361419 -0.70140012 -46.043701 -40.187267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70125363--0.70140012) × R
    0.000146489999999999 × 6371000     		dl = 933.287789999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70125363--0.70140012) × R
    0.000146489999999999 × 6371000     		dr = 933.287789999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80380593--0.80361419) × cos(-0.70125363) × R
    0.000191739999999996 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 933.325216649748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80380593--0.80361419) × cos(-0.70140012) × R
    0.000191739999999996 × 0.763939455837211 × 6371000     		du = 933.209753291627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70125363)-sin(-0.70140012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.763939455837211)×R²
    abs(-0.80361419--0.80380593)×9.4520031173384e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4520031173384e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4520031173384e-05×40589641000000     		ar = 871007.150085368m²