Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 122 / 154
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W  8.437500°		 ← 129.164 km → S 34.307144°
W  7.031250°		 →
↑
128.266 km
↓
↑
128.266 km
↓
S 35.460670°
W  8.437500°		 ← 127.364 km →
16 452.5 km²		 S 35.460670°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478515625 y=0.603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478515625 × 28)
    floor (0.478515625 × 256)
    floor (122.5)     		tx = 122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603515625 × 28)
    floor (0.603515625 × 256)
    floor (154.5)     		ty = 154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 122 / 154 ti = "8/122/154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/122/154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122 ÷ 28
    122 ÷ 256     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 154 ÷ 28
    154 ÷ 256     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122 KachelY 154 -0.14726216 -0.59877262 -8.437500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 123 KachelY 154 -0.12271846 -0.59877262 -7.031250 -34.307144
    Unten links KachelX 122 KachelY + 1 155 -0.14726216 -0.61890545 -8.437500 -35.460670
    Unten rechts KachelX + 1 123 KachelY + 1 155 -0.12271846 -0.61890545 -7.031250 -35.460670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.61890545) × R
    0.02013283 × 6371000     		dl = 128266.25993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.61890545) × R
    0.02013283 × 6371000     		dr = 128266.25993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.12271846) × cos(-0.59877262) × R
    0.0245437 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 129164.277936222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.12271846) × cos(-0.61890545) × R
    0.0245437 × 0.81451394104121 × 6371000     		du = 127363.844825665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.61890545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.81451394104121)×R²
    abs(-0.12271846--0.14726216)×0.0115140829053058×R²
    0.0245437×0.0115140829053058×6371000²
    0.0245437×0.0115140829053058×40589641000000     		ar = 16452507166.2376m²