Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 122 / 26
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E163.125000°		 ← 94.584 km → N 72.395706°
E165.937500°		 →
↑
96.828 km
↓
↑
96.828 km
↓
N 71.524909°
E163.125000°		 ← 99.104 km →
9 377.40 km²		 N 71.524909°
E165.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95703125 y=0.20703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95703125 × 27)
    floor (0.95703125 × 128)
    floor (122.5)     		tx = 122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20703125 × 27)
    floor (0.20703125 × 128)
    floor (26.5)     		ty = 26
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 122 / 26 ti = "7/122/26"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/122/26.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122 ÷ 27
    122 ÷ 128     		x = 0.953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26 ÷ 27
    26 ÷ 128     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.953125 × 2 - 1) × π
    0.90625 × 3.1415926535     		Λ = 2.84706834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.84706834} λ = 2.84706834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.84706834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 163.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122 KachelY 26 2.84706834 1.26354343 163.125000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 123 KachelY 26 2.89615573 1.26354343 165.937500 72.395706
    Unten links KachelX 122 KachelY + 1 27 2.84706834 1.24834516 163.125000 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 123 KachelY + 1 27 2.89615573 1.24834516 165.937500 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.24834516) × R
    0.01519827 × 6371000     		dl = 96828.1781699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.24834516) × R
    0.01519827 × 6371000     		dr = 96828.1781699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.84706834-2.89615573) × cos(1.26354343) × R
    0.04908739 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 94584.2197223557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.84706834-2.89615573) × cos(1.24834516) × R
    0.04908739 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 99103.5697103239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.316892347631675)×R²
    abs(2.89615573-2.84706834)×0.0144510175732575×R²
    0.04908739×0.0144510175732575×6371000²
    0.04908739×0.0144510175732575×40589641000000     		ar = 9377398398.04669m²