Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12224 / 12224
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 88.593750°		 ← 995.86 m → S 65.946472°
E 88.615723°		 →
↑
995.66 m
↓
↑
995.66 m
↓
S 65.955426°
E 88.593750°		 ← 995.51 m →
991 360 m²		 S 65.955426°
E 88.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746124267578125 y=0.746124267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746124267578125 × 214)
    floor (0.746124267578125 × 16384)
    floor (12224.5)     		tx = 12224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746124267578125 × 214)
    floor (0.746124267578125 × 16384)
    floor (12224.5)     		ty = 12224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12224 / 12224 ti = "14/12224/12224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12224/12224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12224 ÷ 214
    12224 ÷ 16384     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12224 ÷ 214
    12224 ÷ 16384     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12224 KachelY 12224 1.54625263 -1.15098306 88.593750 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 12225 KachelY 12224 1.54663613 -1.15098306 88.615723 -65.946472
    Unten links KachelX 12224 KachelY + 1 12225 1.54625263 -1.15113934 88.593750 -65.955426
    Unten rechts KachelX + 1 12225 KachelY + 1 12225 1.54663613 -1.15113934 88.615723 -65.955426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15113934) × R
    0.00015628000000012 × 6371000     		dl = 995.659880000762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15113934) × R
    0.00015628000000012 × 6371000     		dr = 995.659880000762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54663613) × cos(-1.15098306) × R
    0.000383500000000092 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 995.855741926809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54663613) × cos(-1.15113934) × R
    0.000383500000000092 × 0.407447227513599 × 6371000     		du = 995.507050868825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15113934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407447227513599)×R²
    abs(1.54663613-1.54625263)×0.000142714413433997×R²
    0.000383500000000092×0.000142714413433997×6371000²
    0.000383500000000092×0.000142714413433997×40589641000000     		ar = 991360.021675363m²