Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12224 / 28608
↖ ↑ ↗
← S 79.038438°
W 45.703125°		 ← 232.30 m → S 79.038438°
W 45.692139°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 79.040527°
W 45.703125°		 ← 232.25 m →
53 954 m²		 S 79.040527°
W 45.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373062133789062 y=0.873062133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373062133789062 × 215)
    floor (0.373062133789062 × 32768)
    floor (12224.5)     		tx = 12224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.873062133789062 × 215)
    floor (0.873062133789062 × 32768)
    floor (28608.5)     		ty = 28608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12224 / 28608 ti = "15/12224/28608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12224/28608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12224 ÷ 215
    12224 ÷ 32768     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28608 ÷ 215
    28608 ÷ 32768     		y = 0.873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.34392264382227))-π/2
    2×atan(0.0959505193505618)-π/2
    2×0.0956576790560577-π/2
    0.191315358112115-1.57079632675     		φ = -1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12224 KachelY 28608 -0.79767001 -1.37948097 -45.703125 -79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 12225 KachelY 28608 -0.79747826 -1.37948097 -45.692139 -79.038438
    Unten links KachelX 12224 KachelY + 1 28609 -0.79767001 -1.37951743 -45.703125 -79.040527
    Unten rechts KachelX + 1 12225 KachelY + 1 28609 -0.79747826 -1.37951743 -45.692139 -79.040527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37948097--1.37951743) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37948097--1.37951743) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79747826) × cos(-1.37948097) × R
    0.000191750000000046 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 232.295213017517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79747826) × cos(-1.37951743) × R
    0.000191750000000046 × 0.190114622256406 × 6371000     		du = 232.251484547405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37948097)-sin(-1.37951743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.190114622256406)×R²
    abs(-0.79747826--0.79767001)×3.57949125426305e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57949125426305e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57949125426305e-05×40589641000000     		ar = 53954.0004015475m²