Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12256 / 12320
↖ ↑ ↗
← S 66.791909°
E 89.296875°		 ← 962.83 m → S 66.791909°
E 89.318848°		 →
↑
962.66 m
↓
↑
962.66 m
↓
S 66.800567°
E 89.296875°		 ← 962.49 m →
926 710 m²		 S 66.800567°
E 89.318848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748077392578125 y=0.751983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748077392578125 × 214)
    floor (0.748077392578125 × 16384)
    floor (12256.5)     		tx = 12256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751983642578125 × 214)
    floor (0.751983642578125 × 16384)
    floor (12320.5)     		ty = 12320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12256 / 12320 ti = "14/12256/12320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12256/12320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12256 ÷ 214
    12256 ÷ 16384     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12320 ÷ 214
    12320 ÷ 16384     		y = 0.751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751953125 × 2 - 1) × π
    -0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58306817305273))-π/2
    2×atan(0.20534409946071)-π/2
    2×0.202528796403796-π/2
    0.405057592807592-1.57079632675     		φ = -1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12256 KachelY 12320 1.55852448 -1.16573873 89.296875 -66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 12257 KachelY 12320 1.55890798 -1.16573873 89.318848 -66.791909
    Unten links KachelX 12256 KachelY + 1 12321 1.55852448 -1.16588983 89.296875 -66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 12257 KachelY + 1 12321 1.55890798 -1.16588983 89.318848 -66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16573873--1.16588983) × R
    0.000151100000000071 × 6371000     		dl = 962.65810000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16573873--1.16588983) × R
    0.000151100000000071 × 6371000     		dr = 962.65810000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.55890798) × cos(-1.16573873) × R
    0.000383500000000092 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 962.826904908538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.55890798) × cos(-1.16588983) × R
    0.000383500000000092 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 962.487588642994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16573873)-sin(-1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.393932819628529)×R²
    abs(1.55890798-1.55852448)×0.000138877440923557×R²
    0.000383500000000092×0.000138877440923557×6371000²
    0.000383500000000092×0.000138877440923557×40589641000000     		ar = 926709.797895765m²