Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12256 / 20448
↖ ↑ ↗
← S 40.713956°
W 45.351563°		 ← 925.97 m → S 40.713956°
W 45.340576°		 →
↑
925.90 m
↓
↑
925.90 m
↓
S 40.722283°
W 45.351563°		 ← 925.86 m →
857 302 m²		 S 40.722283°
W 45.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374038696289062 y=0.624038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374038696289062 × 215)
    floor (0.374038696289062 × 32768)
    floor (12256.5)     		tx = 12256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624038696289062 × 215)
    floor (0.624038696289062 × 32768)
    floor (20448.5)     		ty = 20448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12256 / 20448 ti = "15/12256/20448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12256/20448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12256 ÷ 215
    12256 ÷ 32768     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20448 ÷ 215
    20448 ÷ 32768     		y = 0.6240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779262240223633))-π/2
    2×atan(0.458744329605081)-π/2
    2×0.430101873065779-π/2
    0.860203746131559-1.57079632675     		φ = -0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12256 KachelY 20448 -0.79153409 -0.71059258 -45.351563 -40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 12257 KachelY 20448 -0.79134234 -0.71059258 -45.340576 -40.713956
    Unten links KachelX 12256 KachelY + 1 20449 -0.79153409 -0.71073791 -45.351563 -40.722283
    Unten rechts KachelX + 1 12257 KachelY + 1 20449 -0.79134234 -0.71073791 -45.340576 -40.722283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71059258--0.71073791) × R
    0.000145329999999944 × 6371000     		dl = 925.89742999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71059258--0.71073791) × R
    0.000145329999999944 × 6371000     		dr = 925.89742999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79134234) × cos(-0.71059258) × R
    0.000191749999999935 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 925.972595936882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79134234) × cos(-0.71073791) × R
    0.000191749999999935 × 0.757880674907939 × 6371000     		du = 925.856779283714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71059258)-sin(-0.71073791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.757880674907939)×R²
    abs(-0.79134234--0.79153409)×9.48042993605958e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48042993605958e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48042993605958e-05×40589641000000     		ar = 857302.03116671m²