Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12256 / 28640
↖ ↑ ↗
← S 79.105086°
W 45.351563°		 ← 230.90 m → S 79.105086°
W 45.340576°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 79.107163°
W 45.351563°		 ← 230.86 m →
53 306 m²		 S 79.107163°
W 45.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374038696289062 y=0.874038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374038696289062 × 215)
    floor (0.374038696289062 × 32768)
    floor (12256.5)     		tx = 12256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874038696289062 × 215)
    floor (0.874038696289062 × 32768)
    floor (28640.5)     		ty = 28640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12256 / 28640 ti = "15/12256/28640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12256/28640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12256 ÷ 215
    12256 ÷ 32768     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28640 ÷ 215
    28640 ÷ 32768     		y = 0.8740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    -0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35005856697363))-π/2
    2×atan(0.0953635768959)-π/2
    2×0.0950760586021759-π/2
    0.190152117204352-1.57079632675     		φ = -1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12256 KachelY 28640 -0.79153409 -1.38064421 -45.351563 -79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 12257 KachelY 28640 -0.79134234 -1.38064421 -45.340576 -79.105086
    Unten links KachelX 12256 KachelY + 1 28641 -0.79153409 -1.38068045 -45.351563 -79.107163
    Unten rechts KachelX + 1 12257 KachelY + 1 28641 -0.79134234 -1.38068045 -45.340576 -79.107163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38064421--1.38068045) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38064421--1.38068045) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79134234) × cos(-1.38064421) × R
    0.000191749999999935 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 230.899923805793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79134234) × cos(-1.38068045) × R
    0.000191749999999935 × 0.188972685211641 × 6371000     		du = 230.856449432357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38064421)-sin(-1.38068045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.188972685211641)×R²
    abs(-0.79134234--0.79153409)×3.55869160521549e-05×R²
    0.000191749999999935×3.55869160521549e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.55869160521549e-05×40589641000000     		ar = 53306.3193585252m²