Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12257 / 20449
↖ ↑ ↗
← S 40.722283°
W 45.340576°		 ← 925.86 m → S 40.722283°
W 45.329590°		 →
↑
925.77 m
↓
↑
925.77 m
↓
S 40.730608°
W 45.340576°		 ← 925.74 m →
857 077 m²		 S 40.730608°
W 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374069213867188 y=0.624069213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374069213867188 × 215)
    floor (0.374069213867188 × 32768)
    floor (12257.5)     		tx = 12257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624069213867188 × 215)
    floor (0.624069213867188 × 32768)
    floor (20449.5)     		ty = 20449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12257 / 20449 ti = "15/12257/20449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12257/20449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12257 ÷ 215
    12257 ÷ 32768     		x = 0.374053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20449 ÷ 215
    20449 ÷ 32768     		y = 0.624053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.779453987822113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79134234} λ = -0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779453987822113))-π/2
    2×atan(0.458656374914382)-π/2
    2×0.430029207621517-π/2
    0.860058415243035-1.57079632675     		φ = -0.71073791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71073791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.722283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12257 KachelY 20449 -0.79134234 -0.71073791 -45.340576 -40.722283
    Oben rechts KachelX + 1 12258 KachelY 20449 -0.79115059 -0.71073791 -45.329590 -40.722283
    Unten links KachelX 12257 KachelY + 1 20450 -0.79134234 -0.71088322 -45.340576 -40.730608
    Unten rechts KachelX + 1 12258 KachelY + 1 20450 -0.79115059 -0.71088322 -45.329590 -40.730608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71073791--0.71088322) × R
    0.000145310000000065 × 6371000     		dl = 925.770010000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71073791--0.71088322) × R
    0.000145310000000065 × 6371000     		dr = 925.770010000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79134234--0.79115059) × cos(-0.71073791) × R
    0.000191750000000046 × 0.757880674907939 × 6371000     		do = 925.85677928425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79134234--0.79115059) × cos(-0.71088322) × R
    0.000191750000000046 × 0.757785867651592 × 6371000     		du = 925.740959018712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71073791)-sin(-0.71088322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757880674907939-0.757785867651592)×R²
    abs(-0.79115059--0.79134234)×9.48072563470292e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48072563470292e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48072563470292e-05×40589641000000     		ar = 857076.82986058m²