Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12258 / 20578
↖ ↑ ↗
← S 41.787697°
W 45.329590°		 ← 910.88 m → S 41.787697°
W 45.318603°		 →
↑
910.80 m
↓
↑
910.80 m
↓
S 41.795888°
W 45.329590°		 ← 910.76 m →
829 573 m²		 S 41.795888°
W 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374099731445312 y=0.628005981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374099731445312 × 215)
    floor (0.374099731445312 × 32768)
    floor (12258.5)     		tx = 12258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628005981445312 × 215)
    floor (0.628005981445312 × 32768)
    floor (20578.5)     		ty = 20578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12258 / 20578 ti = "15/12258/20578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12258/20578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12258 ÷ 215
    12258 ÷ 32768     		x = 0.37408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20578 ÷ 215
    20578 ÷ 32768     		y = 0.62799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804189428026062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79115059} λ = -0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804189428026062))-π/2
    2×atan(0.447450470416606)-π/2
    2×0.420731713621097-π/2
    0.841463427242194-1.57079632675     		φ = -0.72933290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72933290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.787697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12258 KachelY 20578 -0.79115059 -0.72933290 -45.329590 -41.787697
    Oben rechts KachelX + 1 12259 KachelY 20578 -0.79095884 -0.72933290 -45.318603 -41.787697
    Unten links KachelX 12258 KachelY + 1 20579 -0.79115059 -0.72947586 -45.329590 -41.795888
    Unten rechts KachelX + 1 12259 KachelY + 1 20579 -0.79095884 -0.72947586 -45.318603 -41.795888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72933290--0.72947586) × R
    0.000142960000000025 × 6371000     		dl = 910.798160000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72933290--0.72947586) × R
    0.000142960000000025 × 6371000     		dr = 910.798160000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79115059--0.79095884) × cos(-0.72933290) × R
    0.000191749999999935 × 0.745619105235737 × 6371000     		do = 910.877564505548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79115059--0.79095884) × cos(-0.72947586) × R
    0.000191749999999935 × 0.745523833021183 × 6371000     		du = 910.761176228815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72933290)-sin(-0.72947586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745619105235737-0.745523833021183)×R²
    abs(-0.79095884--0.79115059)×9.52722145544094e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52722145544094e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52722145544094e-05×40589641000000     		ar = 829572.608035902m²