Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12260 / 20452
↖ ↑ ↗
← S 40.747257°
W 45.307617°		 ← 925.51 m → S 40.747257°
W 45.296631°		 →
↑
925.39 m
↓
↑
925.39 m
↓
S 40.755579°
W 45.307617°		 ← 925.39 m →
856 401 m²		 S 40.755579°
W 45.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374160766601562 y=0.624160766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374160766601562 × 215)
    floor (0.374160766601562 × 32768)
    floor (12260.5)     		tx = 12260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624160766601562 × 215)
    floor (0.624160766601562 × 32768)
    floor (20452.5)     		ty = 20452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12260 / 20452 ti = "15/12260/20452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12260/20452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12260 ÷ 215
    12260 ÷ 32768     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20452 ÷ 215
    20452 ÷ 32768     		y = 0.6241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780029230617554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780029230617554))-π/2
    2×atan(0.458392612010259)-π/2
    2×0.429811265827335-π/2
    0.859622531654669-1.57079632675     		φ = -0.71117380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71117380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.747257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12260 KachelY 20452 -0.79076710 -0.71117380 -45.307617 -40.747257
    Oben rechts KachelX + 1 12261 KachelY 20452 -0.79057535 -0.71117380 -45.296631 -40.747257
    Unten links KachelX 12260 KachelY + 1 20453 -0.79076710 -0.71131905 -45.307617 -40.755579
    Unten rechts KachelX + 1 12261 KachelY + 1 20453 -0.79057535 -0.71131905 -45.296631 -40.755579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71117380--0.71131905) × R
    0.000145249999999986 × 6371000     		dl = 925.387749999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71117380--0.71131905) × R
    0.000145249999999986 × 6371000     		dr = 925.387749999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79057535) × cos(-0.71117380) × R
    0.000191749999999935 × 0.757596231247903 × 6371000     		do = 925.509291744201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79057535) × cos(-0.71131905) × R
    0.000191749999999935 × 0.757501415170042 × 6371000     		du = 925.393460701955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71117380)-sin(-0.71131905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757596231247903-0.757501415170042)×R²
    abs(-0.79057535--0.79076710)×9.4816077861104e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4816077861104e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4816077861104e-05×40589641000000     		ar = 856401.368283216m²