Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12264 / 20456
↖ ↑ ↗
← S 40.780542°
W 45.263672°		 ← 925.05 m → S 40.780542°
W 45.252686°		 →
↑
924.94 m
↓
↑
924.94 m
↓
S 40.788860°
W 45.263672°		 ← 924.93 m →
855 560 m²		 S 40.788860°
W 45.252686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374282836914062 y=0.624282836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374282836914062 × 215)
    floor (0.374282836914062 × 32768)
    floor (12264.5)     		tx = 12264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624282836914062 × 215)
    floor (0.624282836914062 × 32768)
    floor (20456.5)     		ty = 20456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12264 / 20456 ti = "15/12264/20456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12264/20456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12264 ÷ 215
    12264 ÷ 32768     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20456 ÷ 215
    20456 ÷ 32768     		y = 0.624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780796221011475))-π/2
    2×atan(0.458041164076026)-π/2
    2×0.429520804039935-π/2
    0.85904160807987-1.57079632675     		φ = -0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12264 KachelY 20456 -0.79000011 -0.71175472 -45.263672 -40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 12265 KachelY 20456 -0.78980836 -0.71175472 -45.252686 -40.780542
    Unten links KachelX 12264 KachelY + 1 20457 -0.79000011 -0.71189990 -45.263672 -40.788860
    Unten rechts KachelX + 1 12265 KachelY + 1 20457 -0.78980836 -0.71189990 -45.252686 -40.788860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71175472--0.71189990) × R
    0.000145180000000078 × 6371000     		dl = 924.941780000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71175472--0.71189990) × R
    0.000145180000000078 × 6371000     		dr = 924.941780000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78980836) × cos(-0.71175472) × R
    0.000191750000000046 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 925.045914278666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78980836) × cos(-0.71189990) × R
    0.000191750000000046 × 0.757122089055292 × 6371000     		du = 924.930061032162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71175472)-sin(-0.71189990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757122089055292)×R²
    abs(-0.78980836--0.79000011)×9.48342536506441e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48342536506441e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48342536506441e-05×40589641000000     		ar = 855560.037283649m²