Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12271 / 20527
↖ ↑ ↗
← S 41.368564°
W 45.186767°		 ← 916.81 m → S 41.368564°
W 45.175781°		 →
↑
916.72 m
↓
↑
916.72 m
↓
S 41.376808°
W 45.186767°		 ← 916.69 m →
840 406 m²		 S 41.376808°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374496459960938 y=0.626449584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374496459960938 × 215)
    floor (0.374496459960938 × 32768)
    floor (12271.5)     		tx = 12271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626449584960938 × 215)
    floor (0.626449584960938 × 32768)
    floor (20527.5)     		ty = 20527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12271 / 20527 ti = "15/12271/20527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12271/20527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12271 ÷ 215
    12271 ÷ 32768     		x = 0.374481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20527 ÷ 215
    20527 ÷ 32768     		y = 0.626434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.25103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78865787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.25286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.794410300503571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78865787} λ = -0.78865787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794410300503571))-π/2
    2×atan(0.45184761068253)-π/2
    2×0.424389337901081-π/2
    0.848778675802162-1.57079632675     		φ = -0.72201765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78865787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.186767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72201765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.368564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12271 KachelY 20527 -0.78865787 -0.72201765 -45.186767 -41.368564
    Oben rechts KachelX + 1 12272 KachelY 20527 -0.78846612 -0.72201765 -45.175781 -41.368564
    Unten links KachelX 12271 KachelY + 1 20528 -0.78865787 -0.72216154 -45.186767 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 12272 KachelY + 1 20528 -0.78846612 -0.72216154 -45.175781 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72201765--0.72216154) × R
    0.000143890000000035 × 6371000     		dl = 916.723190000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72201765--0.72216154) × R
    0.000143890000000035 × 6371000     		dr = 916.723190000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78865787--0.78846612) × cos(-0.72201765) × R
    0.000191749999999935 × 0.75047379229337 × 6371000     		do = 916.808240761618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78865787--0.78846612) × cos(-0.72216154) × R
    0.000191749999999935 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 916.692057127404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72201765)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75047379229337-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.78846612--0.78865787)×9.51046998639571e-05×R²
    0.000191749999999935×9.51046998639571e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.51046998639571e-05×40589641000000     		ar = 840406.122424247m²