Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12272 / 20463
↖ ↑ ↗
← S 40.838749°
W 45.175781°		 ← 924.19 m → S 40.838749°
W 45.164795°		 →
↑
924.18 m
↓
↑
924.18 m
↓
S 40.847060°
W 45.175781°		 ← 924.07 m →
854 059 m²		 S 40.847060°
W 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374526977539062 y=0.624496459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374526977539062 × 215)
    floor (0.374526977539062 × 32768)
    floor (12272.5)     		tx = 12272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624496459960938 × 215)
    floor (0.624496459960938 × 32768)
    floor (20463.5)     		ty = 20463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12272 / 20463 ti = "15/12272/20463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12272/20463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12272 ÷ 215
    12272 ÷ 32768     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20463 ÷ 215
    20463 ÷ 32768     		y = 0.624481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.782138454200836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782138454200836))-π/2
    2×atan(0.457426778440145)-π/2
    2×0.429012845979166-π/2
    0.858025691958331-1.57079632675     		φ = -0.71277063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71277063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.838749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12272 KachelY 20463 -0.78846612 -0.71277063 -45.175781 -40.838749
    Oben rechts KachelX + 1 12273 KachelY 20463 -0.78827438 -0.71277063 -45.164795 -40.838749
    Unten links KachelX 12272 KachelY + 1 20464 -0.78846612 -0.71291569 -45.175781 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 12273 KachelY + 1 20464 -0.78827438 -0.71291569 -45.164795 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71277063--0.71291569) × R
    0.00014506000000003 × 6371000     		dl = 924.177260000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71277063--0.71291569) × R
    0.00014506000000003 × 6371000     		dr = 924.177260000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.71277063) × R
    0.000191739999999996 × 0.756552977360958 × 6371000     		do = 924.1866118583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.71291569) × R
    0.000191739999999996 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 924.070724169732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71277063)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756552977360958-0.756458109966538)×R²
    abs(-0.78827438--0.78846612)×9.48673944202172e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48673944202172e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48673944202172e-05×40589641000000     		ar = 854058.70179004m²