Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12272 / 20464
↖ ↑ ↗
← S 40.847060°
W 45.175781°		 ← 924.07 m → S 40.847060°
W 45.164795°		 →
↑
924.05 m
↓
↑
924.05 m
↓
S 40.855370°
W 45.175781°		 ← 923.95 m →
853 834 m²		 S 40.855370°
W 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374526977539062 y=0.624526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374526977539062 × 215)
    floor (0.374526977539062 × 32768)
    floor (12272.5)     		tx = 12272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624526977539062 × 215)
    floor (0.624526977539062 × 32768)
    floor (20464.5)     		ty = 20464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12272 / 20464 ti = "15/12272/20464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12272/20464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12272 ÷ 215
    12272 ÷ 32768     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20464 ÷ 215
    20464 ÷ 32768     		y = 0.62451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782330201799316))-π/2
    2×atan(0.457339076362498)-π/2
    2×0.428940316918761-π/2
    0.857880633837521-1.57079632675     		φ = -0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12272 KachelY 20464 -0.78846612 -0.71291569 -45.175781 -40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 12273 KachelY 20464 -0.78827438 -0.71291569 -45.164795 -40.847060
    Unten links KachelX 12272 KachelY + 1 20465 -0.78846612 -0.71306073 -45.175781 -40.855370
    Unten rechts KachelX + 1 12273 KachelY + 1 20465 -0.78827438 -0.71306073 -45.164795 -40.855370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71291569--0.71306073) × R
    0.000145040000000041 × 6371000     		dl = 924.049840000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71291569--0.71306073) × R
    0.000145040000000041 × 6371000     		dr = 924.049840000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.71291569) × R
    0.000191739999999996 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 924.070724169732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.71306073) × R
    0.000191739999999996 × 0.756363239737458 × 6371000     		du = 923.954833018414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71291569)-sin(-0.71306073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756363239737458)×R²
    abs(-0.78827438--0.78846612)×9.48702290797243e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48702290797243e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48702290797243e-05×40589641000000     		ar = 853833.861714856m²