Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12272 / 20528
↖ ↑ ↗
← S 41.376808°
W 45.175781°		 ← 916.64 m → S 41.376808°
W 45.164795°		 →
↑
916.66 m
↓
↑
916.66 m
↓
S 41.385052°
W 45.175781°		 ← 916.53 m →
840 197 m²		 S 41.385052°
W 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374526977539062 y=0.626480102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374526977539062 × 215)
    floor (0.374526977539062 × 32768)
    floor (12272.5)     		tx = 12272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626480102539062 × 215)
    floor (0.626480102539062 × 32768)
    floor (20528.5)     		ty = 20528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12272 / 20528 ti = "15/12272/20528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12272/20528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12272 ÷ 215
    12272 ÷ 32768     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20528 ÷ 215
    20528 ÷ 32768     		y = 0.62646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794602048102051))-π/2
    2×atan(0.451760978294344)-π/2
    2×0.42431739168652-π/2
    0.84863478337304-1.57079632675     		φ = -0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12272 KachelY 20528 -0.78846612 -0.72216154 -45.175781 -41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 12273 KachelY 20528 -0.78827438 -0.72216154 -45.164795 -41.376808
    Unten links KachelX 12272 KachelY + 1 20529 -0.78846612 -0.72230542 -45.175781 -41.385052
    Unten rechts KachelX + 1 12273 KachelY + 1 20529 -0.78827438 -0.72230542 -45.164795 -41.385052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72216154--0.72230542) × R
    0.000143879999999985 × 6371000     		dl = 916.659479999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72216154--0.72230542) × R
    0.000143879999999985 × 6371000     		dr = 916.659479999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.72216154) × R
    0.000191739999999996 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 916.644250501508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.72230542) × R
    0.000191739999999996 × 0.750283573968714 × 6371000     		du = 916.528062023942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72216154)-sin(-0.72230542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.750283573968714)×R²
    abs(-0.78827438--0.78846612)×9.51136247919759e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51136247919759e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51136247919759e-05×40589641000000     		ar = 840197.390824027m²