Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12276 / 20468
↖ ↑ ↗
← S 40.880295°
W 45.131836°		 ← 923.61 m → S 40.880295°
W 45.120850°		 →
↑
923.60 m
↓
↑
923.60 m
↓
S 40.888601°
W 45.131836°		 ← 923.49 m →
852 994 m²		 S 40.888601°
W 45.120850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374649047851562 y=0.624649047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374649047851562 × 215)
    floor (0.374649047851562 × 32768)
    floor (12276.5)     		tx = 12276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624649047851562 × 215)
    floor (0.624649047851562 × 32768)
    floor (20468.5)     		ty = 20468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12276 / 20468 ti = "15/12276/20468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12276/20468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12276 ÷ 215
    12276 ÷ 32768     		x = 0.3746337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20468 ÷ 215
    20468 ÷ 32768     		y = 0.6246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78769913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78769913} λ = -0.78769913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783097192193237))-π/2
    2×atan(0.456988436170182)-π/2
    2×0.428650291634708-π/2
    0.857300583269417-1.57079632675     		φ = -0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78769913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12276 KachelY 20468 -0.78769913 -0.71349574 -45.131836 -40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 12277 KachelY 20468 -0.78750739 -0.71349574 -45.120850 -40.880295
    Unten links KachelX 12276 KachelY + 1 20469 -0.78769913 -0.71364071 -45.131836 -40.888601
    Unten rechts KachelX + 1 12277 KachelY + 1 20469 -0.78750739 -0.71364071 -45.120850 -40.888601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71349574--0.71364071) × R
    0.000144969999999911 × 6371000     		dl = 923.603869999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71349574--0.71364071) × R
    0.000144969999999911 × 6371000     		dr = 923.603869999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78769913--0.78750739) × cos(-0.71349574) × R
    0.000191739999999996 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 923.607130897755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78769913--0.78750739) × cos(-0.71364071) × R
    0.000191739999999996 × 0.755983717554268 × 6371000     		du = 923.491218002543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71349574)-sin(-0.71364071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.755983717554268)×R²
    abs(-0.78750739--0.78769913)×9.48880289569631e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48880289569631e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48880289569631e-05×40589641000000     		ar = 852993.593150728m²