Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12280 / 20473
↖ ↑ ↗
← S 40.921815°
W 45.087890°		 ← 923.03 m → S 40.921815°
W 45.076904°		 →
↑
922.97 m
↓
↑
922.97 m
↓
S 40.930115°
W 45.087890°		 ← 922.91 m →
851 870 m²		 S 40.930115°
W 45.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374771118164062 y=0.624801635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374771118164062 × 215)
    floor (0.374771118164062 × 32768)
    floor (12280.5)     		tx = 12280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624801635742188 × 215)
    floor (0.624801635742188 × 32768)
    floor (20473.5)     		ty = 20473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12280 / 20473 ti = "15/12280/20473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12280/20473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12280 ÷ 215
    12280 ÷ 32768     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20473 ÷ 215
    20473 ÷ 32768     		y = 0.624786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784055930185638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784055930185638))-π/2
    2×atan(0.456550513954215)-π/2
    2×0.428287964712878-π/2
    0.856575929425756-1.57079632675     		φ = -0.71422040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71422040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.921815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12280 KachelY 20473 -0.78693214 -0.71422040 -45.087890 -40.921815
    Oben rechts KachelX + 1 12281 KachelY 20473 -0.78674040 -0.71422040 -45.076904 -40.921815
    Unten links KachelX 12280 KachelY + 1 20474 -0.78693214 -0.71436527 -45.087890 -40.930115
    Unten rechts KachelX + 1 12281 KachelY + 1 20474 -0.78674040 -0.71436527 -45.076904 -40.930115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71422040--0.71436527) × R
    0.000144870000000075 × 6371000     		dl = 922.966770000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71422040--0.71436527) × R
    0.000144870000000075 × 6371000     		dr = 922.966770000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78674040) × cos(-0.71422040) × R
    0.000191739999999996 × 0.755604131034012 × 6371000     		do = 923.027524394084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78674040) × cos(-0.71436527) × R
    0.000191739999999996 × 0.755509229119713 × 6371000     		du = 922.911594536876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71422040)-sin(-0.71436527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755604131034012-0.755509229119713)×R²
    abs(-0.78674040--0.78693214)×9.49019142992835e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49019142992835e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49019142992835e-05×40589641000000     		ar = 851870.234598334m²