Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12280 / 28696
↖ ↑ ↗
← S 79.220760°
W 45.087890°		 ← 228.47 m → S 79.220760°
W 45.076904°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 79.222814°
W 45.087890°		 ← 228.42 m →
52 191 m²		 S 79.222814°
W 45.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374771118164062 y=0.875747680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374771118164062 × 215)
    floor (0.374771118164062 × 32768)
    floor (12280.5)     		tx = 12280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875747680664062 × 215)
    floor (0.875747680664062 × 32768)
    floor (28696.5)     		ty = 28696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12280 / 28696 ti = "15/12280/28696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12280/28696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12280 ÷ 215
    12280 ÷ 32768     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28696 ÷ 215
    28696 ÷ 32768     		y = 0.875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36079643248853))-π/2
    2×atan(0.0943450538006228)-π/2
    2×0.0940666178736466-π/2
    0.188133235747293-1.57079632675     		φ = -1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12280 KachelY 28696 -0.78693214 -1.38266309 -45.087890 -79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 12281 KachelY 28696 -0.78674040 -1.38266309 -45.076904 -79.220760
    Unten links KachelX 12280 KachelY + 1 28697 -0.78693214 -1.38269895 -45.087890 -79.222814
    Unten rechts KachelX + 1 12281 KachelY + 1 28697 -0.78674040 -1.38269895 -45.076904 -79.222814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38266309--1.38269895) × R
    3.58599999998876e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38266309--1.38269895) × R
    3.58599999998876e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78674040) × cos(-1.38266309) × R
    0.000191739999999996 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 228.465651066602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78674040) × cos(-1.38269895) × R
    0.000191739999999996 × 0.186990170226365 × 6371000     		du = 228.422618168959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38266309)-sin(-1.38269895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.186990170226365)×R²
    abs(-0.78674040--0.78693214)×3.52273733663089e-05×R²
    0.000191739999999996×3.52273733663089e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.52273733663089e-05×40589641000000     		ar = 52191.2744839607m²