Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12283 / 20477
↖ ↑ ↗
← S 40.955011°
W 45.054932°		 ← 922.61 m → S 40.955011°
W 45.043945°		 →
↑
922.58 m
↓
↑
922.58 m
↓
S 40.963308°
W 45.054932°		 ← 922.50 m →
851 134 m²		 S 40.963308°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374862670898438 y=0.624923706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374862670898438 × 215)
    floor (0.374862670898438 × 32768)
    floor (12283.5)     		tx = 12283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624923706054688 × 215)
    floor (0.624923706054688 × 32768)
    floor (20477.5)     		ty = 20477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12283 / 20477 ti = "15/12283/20477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12283/20477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12283 ÷ 215
    12283 ÷ 32768     		x = 0.374847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20477 ÷ 215
    20477 ÷ 32768     		y = 0.624908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.24981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.784822920579559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78635690} λ = -0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784822920579559))-π/2
    2×atan(0.456200478349805)-π/2
    2×0.427998266951635-π/2
    0.85599653390327-1.57079632675     		φ = -0.71479979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71479979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.955011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12283 KachelY 20477 -0.78635690 -0.71479979 -45.054932 -40.955011
    Oben rechts KachelX + 1 12284 KachelY 20477 -0.78616515 -0.71479979 -45.043945 -40.955011
    Unten links KachelX 12283 KachelY + 1 20478 -0.78635690 -0.71494460 -45.054932 -40.963308
    Unten rechts KachelX + 1 12284 KachelY + 1 20478 -0.78616515 -0.71494460 -45.043945 -40.963308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71479979--0.71494460) × R
    0.000144809999999995 × 6371000     		dl = 922.58450999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71479979--0.71494460) × R
    0.000144809999999995 × 6371000     		dr = 922.58450999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78635690--0.78616515) × cos(-0.71479979) × R
    0.000191750000000046 × 0.755224487240078 × 6371000     		do = 922.611876173824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78635690--0.78616515) × cos(-0.71494460) × R
    0.000191750000000046 × 0.755129561257668 × 6371000     		du = 922.495910867868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71479979)-sin(-0.71494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755224487240078-0.755129561257668)×R²
    abs(-0.78616515--0.78635690)×9.4925982409233e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4925982409233e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4925982409233e-05×40589641000000     		ar = 851133.933289599m²