Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12284 / 20492
↖ ↑ ↗
← S 41.079351°
W 45.043945°		 ← 920.82 m → S 41.079351°
W 45.032959°		 →
↑
920.80 m
↓
↑
920.80 m
↓
S 41.087632°
W 45.043945°		 ← 920.71 m →
847 842 m²		 S 41.087632°
W 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374893188476562 y=0.625381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374893188476562 × 215)
    floor (0.374893188476562 × 32768)
    floor (12284.5)     		tx = 12284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625381469726562 × 215)
    floor (0.625381469726562 × 32768)
    floor (20492.5)     		ty = 20492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12284 / 20492 ti = "15/12284/20492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12284/20492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12284 ÷ 215
    12284 ÷ 32768     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20492 ÷ 215
    20492 ÷ 32768     		y = 0.6253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.787699134556763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787699134556763))-π/2
    2×atan(0.454890233333346)-π/2
    2×0.426913197335358-π/2
    0.853826394670717-1.57079632675     		φ = -0.71696993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71696993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.079351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12284 KachelY 20492 -0.78616515 -0.71696993 -45.043945 -41.079351
    Oben rechts KachelX + 1 12285 KachelY 20492 -0.78597341 -0.71696993 -45.032959 -41.079351
    Unten links KachelX 12284 KachelY + 1 20493 -0.78616515 -0.71711446 -45.043945 -41.087632
    Unten rechts KachelX + 1 12285 KachelY + 1 20493 -0.78597341 -0.71711446 -45.032959 -41.087632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71696993--0.71711446) × R
    0.000144530000000032 × 6371000     		dl = 920.800630000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71696993--0.71711446) × R
    0.000144530000000032 × 6371000     		dr = 920.800630000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(-0.71696993) × R
    0.000191739999999996 × 0.753800256513115 × 6371000     		do = 920.823955402127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(-0.71711446) × R
    0.000191739999999996 × 0.753705277453566 × 6371000     		du = 920.707931306169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71696993)-sin(-0.71711446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753800256513115-0.753705277453566)×R²
    abs(-0.78597341--0.78616515)×9.49790595498046e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49790595498046e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49790595498046e-05×40589641000000     		ar = 847841.862198965m²