Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12284 / 28684
↖ ↑ ↗
← S 79.196075°
W 45.043945°		 ← 228.98 m → S 79.196075°
W 45.032959°		 →
↑
228.97 m
↓
↑
228.97 m
↓
S 79.198134°
W 45.043945°		 ← 228.94 m →
52 426 m²		 S 79.198134°
W 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374893188476562 y=0.875381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374893188476562 × 215)
    floor (0.374893188476562 × 32768)
    floor (12284.5)     		tx = 12284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875381469726562 × 215)
    floor (0.875381469726562 × 32768)
    floor (28684.5)     		ty = 28684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12284 / 28684 ti = "15/12284/28684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12284/28684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12284 ÷ 215
    12284 ÷ 32768     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28684 ÷ 215
    28684 ÷ 32768     		y = 0.8753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35849546130676))-π/2
    2×atan(0.0945623889956807)-π/2
    2×0.0942820312562123-π/2
    0.188564062512425-1.57079632675     		φ = -1.38223226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38223226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.196075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12284 KachelY 28684 -0.78616515 -1.38223226 -45.043945 -79.196075
    Oben rechts KachelX + 1 12285 KachelY 28684 -0.78597341 -1.38223226 -45.032959 -79.196075
    Unten links KachelX 12284 KachelY + 1 28685 -0.78616515 -1.38226820 -45.043945 -79.198134
    Unten rechts KachelX + 1 12285 KachelY + 1 28685 -0.78597341 -1.38226820 -45.032959 -79.198134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38223226--1.38226820) × R
    3.59399999998455e-05 × 6371000     		dl = 228.973739999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38223226--1.38226820) × R
    3.59399999998455e-05 × 6371000     		dr = 228.973739999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(-1.38223226) × R
    0.000191739999999996 × 0.187448608267885 × 6371000     		do = 228.982634867085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(-1.38226820) × R
    0.000191739999999996 × 0.187413305204485 × 6371000     		du = 228.939509508349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38223226)-sin(-1.38226820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187448608267885-0.187413305204485)×R²
    abs(-0.78597341--0.78616515)×3.53030633995222e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53030633995222e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53030633995222e-05×40589641000000     		ar = 52426.0730189046m²