Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12284 / 4108
↖ ↑ ↗
← N 79.146538°
W 45.043945°		 ← 230.02 m → N 79.146538°
W 45.032959°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
N 79.144470°
W 45.043945°		 ← 230.06 m →
52 908 m²		 N 79.144470°
W 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374893188476562 y=0.125381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374893188476562 × 215)
    floor (0.374893188476562 × 32768)
    floor (12284.5)     		tx = 12284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125381469726562 × 215)
    floor (0.125381469726562 × 32768)
    floor (4108.5)     		ty = 4108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12284 / 4108 ti = "15/12284/4108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12284/4108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12284 ÷ 215
    12284 ÷ 32768     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4108 ÷ 215
    4108 ÷ 32768     		y = 0.1253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1253662109375 × 2 - 1) × π
    0.749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35389351894324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35389351894324))-π/2
    2×atan(10.526475070275)-π/2
    2×1.47608200543681-π/2
    2.95216401087361-1.57079632675     		φ = 1.38136768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38136768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.146538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12284 KachelY 4108 -0.78616515 1.38136768 -45.043945 79.146538
    Oben rechts KachelX + 1 12285 KachelY 4108 -0.78597341 1.38136768 -45.032959 79.146538
    Unten links KachelX 12284 KachelY + 1 4109 -0.78616515 1.38133158 -45.043945 79.144470
    Unten rechts KachelX + 1 12285 KachelY + 1 4109 -0.78597341 1.38133158 -45.032959 79.144470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38136768-1.38133158) × R
    3.61000000002054e-05 × 6371000     		dl = 229.993100001309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38136768-1.38133158) × R
    3.61000000002054e-05 × 6371000     		dr = 229.993100001309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(1.38136768) × R
    0.000191739999999996 × 0.188297792913896 × 6371000     		do = 230.019978059596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78597341) × cos(1.38133158) × R
    0.000191739999999996 × 0.188333247033669 × 6371000     		du = 230.063287945103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38136768)-sin(1.38133158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188297792913896-0.188333247033669)×R²
    abs(-0.78597341--0.78616515)×3.54541197733205e-05×R²
    0.000191739999999996×3.54541197733205e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.54541197733205e-05×40589641000000     		ar = 52907.9883101668m²