Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12285 / 20493
↖ ↑ ↗
← S 41.087632°
W 45.032959°		 ← 920.76 m → S 41.087632°
W 45.021973°		 →
↑
920.67 m
↓
↑
920.67 m
↓
S 41.095912°
W 45.032959°		 ← 920.64 m →
847 662 m²		 S 41.095912°
W 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374923706054688 y=0.625411987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374923706054688 × 215)
    floor (0.374923706054688 × 32768)
    floor (12285.5)     		tx = 12285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625411987304688 × 215)
    floor (0.625411987304688 × 32768)
    floor (20493.5)     		ty = 20493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12285 / 20493 ti = "15/12285/20493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12285/20493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12285 ÷ 215
    12285 ÷ 32768     		x = 0.374908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20493 ÷ 215
    20493 ÷ 32768     		y = 0.625396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.25079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.787890882155243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78597341} λ = -0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787890882155243))-π/2
    2×atan(0.454803017585504)-π/2
    2×0.426840932194013-π/2
    0.853681864388025-1.57079632675     		φ = -0.71711446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71711446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.087632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12285 KachelY 20493 -0.78597341 -0.71711446 -45.032959 -41.087632
    Oben rechts KachelX + 1 12286 KachelY 20493 -0.78578166 -0.71711446 -45.021973 -41.087632
    Unten links KachelX 12285 KachelY + 1 20494 -0.78597341 -0.71725897 -45.032959 -41.095912
    Unten rechts KachelX + 1 12286 KachelY + 1 20494 -0.78578166 -0.71725897 -45.021973 -41.095912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71711446--0.71725897) × R
    0.000144510000000042 × 6371000     		dl = 920.673210000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71711446--0.71725897) × R
    0.000144510000000042 × 6371000     		dr = 920.673210000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78597341--0.78578166) × cos(-0.71711446) × R
    0.000191749999999935 × 0.753705277453566 × 6371000     		do = 920.755949869104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78597341--0.78578166) × cos(-0.71725897) × R
    0.000191749999999935 × 0.753610295796356 × 6371000     		du = 920.639916548626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71711446)-sin(-0.71725897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753705277453566-0.753610295796356)×R²
    abs(-0.78578166--0.78597341)×9.49816572100026e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49816572100026e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49816572100026e-05×40589641000000     		ar = 847661.923082646m²