Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12286 / 12286
↖ ↑ ↗
← S 66.495740°
E 89.956055°		 ← 974.40 m → S 66.495740°
E 89.978027°		 →
↑
974.25 m
↓
↑
974.25 m
↓
S 66.504502°
E 89.956055°		 ← 974.05 m →
949 142 m²		 S 66.504502°
E 89.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749908447265625 y=0.749908447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749908447265625 × 214)
    floor (0.749908447265625 × 16384)
    floor (12286.5)     		tx = 12286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749908447265625 × 214)
    floor (0.749908447265625 × 16384)
    floor (12286.5)     		ty = 12286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12286 / 12286 ti = "14/12286/12286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12286/12286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12286 ÷ 214
    12286 ÷ 16384     		x = 0.7498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12286 ÷ 214
    12286 ÷ 16384     		y = 0.7498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7498779296875 × 2 - 1) × π
    0.499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57002934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57002933635608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57002934} λ = 1.57002934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57002933635608))-π/2
    2×atan(0.208039079158994)-π/2
    2×0.205113358643069-π/2
    0.410226717286138-1.57079632675     		φ = -1.16056961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57002934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16056961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.495740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12286 KachelY 12286 1.57002934 -1.16056961 89.956055 -66.495740
    Oben rechts KachelX + 1 12287 KachelY 12286 1.57041283 -1.16056961 89.978027 -66.495740
    Unten links KachelX 12286 KachelY + 1 12287 1.57002934 -1.16072253 89.956055 -66.504502
    Unten rechts KachelX + 1 12287 KachelY + 1 12287 1.57041283 -1.16072253 89.978027 -66.504502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16056961--1.16072253) × R
    0.00015291999999989 × 6371000     		dl = 974.253319999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16056961--1.16072253) × R
    0.00015291999999989 × 6371000     		dr = 974.253319999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57002934-1.57041283) × cos(-1.16056961) × R
    0.000383489999999931 × 0.398817244431763 × 6371000     		do = 974.396190102553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57002934-1.57041283) × cos(-1.16072253) × R
    0.000383489999999931 × 0.398677007476212 × 6371000     		du = 974.053561098645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16056961)-sin(-1.16072253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398817244431763-0.398677007476212)×R²
    abs(1.57041283-1.57002934)×0.000140236955551432×R²
    0.000383489999999931×0.000140236955551432×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140236955551432×40589641000000     		ar = 949141.821328994m²