Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12287 / 20479
↖ ↑ ↗
← S 40.971603°
W 45.010986°		 ← 922.38 m → S 40.971603°
W 45.000000°		 →
↑
922.33 m
↓
↑
922.33 m
↓
S 40.979898°
W 45.010986°		 ← 922.26 m →
850 685 m²		 S 40.979898°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374984741210938 y=0.624984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374984741210938 × 215)
    floor (0.374984741210938 × 32768)
    floor (12287.5)     		tx = 12287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624984741210938 × 215)
    floor (0.624984741210938 × 32768)
    floor (20479.5)     		ty = 20479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12287 / 20479 ti = "15/12287/20479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12287/20479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12287 ÷ 215
    12287 ÷ 32768     		x = 0.374969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20479 ÷ 215
    20479 ÷ 32768     		y = 0.624969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.78520641577652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78558991} λ = -0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78520641577652))-π/2
    2×atan(0.456025561199594)-π/2
    2×0.427853472671378-π/2
    0.855706945342757-1.57079632675     		φ = -0.71508938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71508938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.971603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12287 KachelY 20479 -0.78558991 -0.71508938 -45.010986 -40.971603
    Oben rechts KachelX + 1 12288 KachelY 20479 -0.78539816 -0.71508938 -45.000000 -40.971603
    Unten links KachelX 12287 KachelY + 1 20480 -0.78558991 -0.71523415 -45.010986 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 12288 KachelY + 1 20480 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71508938--0.71523415) × R
    0.000144770000000016 × 6371000     		dl = 922.329670000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71508938--0.71523415) × R
    0.000144770000000016 × 6371000     		dr = 922.329670000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78558991--0.78539816) × cos(-0.71508938) × R
    0.000191750000000046 × 0.755034639110788 × 6371000     		do = 922.379950247545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78558991--0.78539816) × cos(-0.71523415) × R
    0.000191750000000046 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 922.263978304426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71508938)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755034639110788-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78539816--0.78558991)×9.49314154069514e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49314154069514e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49314154069514e-05×40589641000000     		ar = 850684.914430729m²