Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12287 / 20481
↖ ↑ ↗
← S 40.988192°
W 45.010986°		 ← 922.15 m → S 40.988192°
W 45.000000°		 →
↑
922.07 m
↓
↑
922.07 m
↓
S 40.996484°
W 45.010986°		 ← 922.03 m →
850 236 m²		 S 40.996484°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374984741210938 y=0.625045776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374984741210938 × 215)
    floor (0.374984741210938 × 32768)
    floor (12287.5)     		tx = 12287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625045776367188 × 215)
    floor (0.625045776367188 × 32768)
    floor (20481.5)     		ty = 20481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12287 / 20481 ti = "15/12287/20481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12287/20481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12287 ÷ 215
    12287 ÷ 32768     		x = 0.374969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20481 ÷ 215
    20481 ÷ 32768     		y = 0.625030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.25006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.78558991097348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78558991} λ = -0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78558991097348))-π/2
    2×atan(0.45585071111641)-π/2
    2×0.427708714795357-π/2
    0.855417429590714-1.57079632675     		φ = -0.71537890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71537890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.988192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12287 KachelY 20481 -0.78558991 -0.71537890 -45.010986 -40.988192
    Oben rechts KachelX + 1 12288 KachelY 20481 -0.78539816 -0.71537890 -45.000000 -40.988192
    Unten links KachelX 12287 KachelY + 1 20482 -0.78558991 -0.71552363 -45.010986 -40.996484
    Unten rechts KachelX + 1 12288 KachelY + 1 20482 -0.78539816 -0.71552363 -45.000000 -40.996484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71537890--0.71552363) × R
    0.000144729999999926 × 6371000     		dl = 922.07482999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71537890--0.71552363) × R
    0.000144729999999926 × 6371000     		dr = 922.07482999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78558991--0.78539816) × cos(-0.71537890) × R
    0.000191750000000046 × 0.754844773575751 × 6371000     		do = 922.148003057722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78558991--0.78539816) × cos(-0.71552363) × R
    0.000191750000000046 × 0.754749836760443 × 6371000     		du = 922.032024517872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71537890)-sin(-0.71552363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754844773575751-0.754749836760443)×R²
    abs(-0.78539816--0.78558991)×9.49368153078112e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49368153078112e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49368153078112e-05×40589641000000     		ar = 850235.994191732m²