Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12288 / 20480
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
W 45.000000°		 ← 922.22 m → S 40.979898°
W 44.989014°		 →
↑
922.20 m
↓
↑
922.20 m
↓
S 40.988192°
W 45.000000°		 ← 922.10 m →
850 416 m²		 S 40.988192°
W 44.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375015258789062 y=0.625015258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375015258789062 × 215)
    floor (0.375015258789062 × 32768)
    floor (12288.5)     		tx = 12288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625015258789062 × 215)
    floor (0.625015258789062 × 32768)
    floor (20480.5)     		ty = 20480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12288 / 20480 ti = "15/12288/20480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12288/20480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12288 ÷ 215
    12288 ÷ 32768     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20480 ÷ 215
    20480 ÷ 32768     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12288 KachelY 20480 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 12289 KachelY 20480 -0.78520642 -0.71523415 -44.989014 -40.979898
    Unten links KachelX 12288 KachelY + 1 20481 -0.78539816 -0.71537890 -45.000000 -40.988192
    Unten rechts KachelX + 1 12289 KachelY + 1 20481 -0.78520642 -0.71537890 -44.989014 -40.988192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.71537890) × R
    0.000144750000000027 × 6371000     		dl = 922.202250000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.71537890) × R
    0.000144750000000027 × 6371000     		dr = 922.202250000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78520642) × cos(-0.71523415) × R
    0.000191739999999996 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 922.215881095407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78520642) × cos(-0.71537890) × R
    0.000191739999999996 × 0.754844773575751 × 6371000     		du = 922.099911896956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.71537890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.754844773575751)×R²
    abs(-0.78520642--0.78539816)×9.49341196300191e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49341196300191e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49341196300191e-05×40589641000000     		ar = 850416.088489141m²