Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12288 / 4096
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 973.71 m → N 66.513260°
E 90.021973°		 →
↑
973.87 m
↓
↑
973.87 m
↓
N 66.504502°
E 90.000000°		 ← 974.05 m →
948 436 m²		 N 66.504502°
E 90.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750030517578125 y=0.250030517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750030517578125 × 214)
    floor (0.750030517578125 × 16384)
    floor (12288.5)     		tx = 12288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250030517578125 × 214)
    floor (0.250030517578125 × 16384)
    floor (4096.5)     		ty = 4096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12288 / 4096 ti = "14/12288/4096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12288/4096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12288 ÷ 214
    12288 ÷ 16384     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4096 ÷ 214
    4096 ÷ 16384     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12288 KachelY 4096 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 12289 KachelY 4096 1.57117982 1.16087539 90.021973 66.513260
    Unten links KachelX 12288 KachelY + 1 4097 1.57079633 1.16072253 90.000000 66.504502
    Unten rechts KachelX + 1 12289 KachelY + 1 4097 1.57117982 1.16072253 90.021973 66.504502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-1.16072253) × R
    0.000152860000000032 × 6371000     		dl = 973.871060000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-1.16072253) × R
    0.000152860000000032 × 6371000     		dr = 973.871060000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57117982) × cos(1.16087539) × R
    0.000383489999999931 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 973.711043764967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57117982) × cos(1.16072253) × R
    0.000383489999999931 × 0.398677007476212 × 6371000     		du = 974.053561098645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(1.16072253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.398677007476212)×R²
    abs(1.57117982-1.57079633)×0.000140191249283772×R²
    0.000383489999999931×0.000140191249283772×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140191249283772×40589641000000     		ar = 948435.792032594m²