Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122888 / 57352
↖ ↑ ↗
← N 21.922663°
E157.521973°		 ← 283.28 m → N 21.922663°
E157.524719°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 21.920115°
E157.521973°		 ← 283.29 m →
80 259 m²		 N 21.920115°
E157.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937564849853516 y=0.437564849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937564849853516 × 217)
    floor (0.937564849853516 × 131072)
    floor (122888.5)     		tx = 122888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437564849853516 × 217)
    floor (0.437564849853516 × 131072)
    floor (57352.5)     		ty = 57352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122888 / 57352 ti = "17/122888/57352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122888/57352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122888 ÷ 217
    122888 ÷ 131072     		x = 0.93756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57352 ÷ 217
    57352 ÷ 131072     		y = 0.43756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93756103515625 × 2 - 1) × π
    0.8751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74927707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74927707} λ = 2.74927707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39231558649054))-π/2
    2×atan(1.48040483345567)-π/2
    2×0.976709490296529-π/2
    1.95341898059306-1.57079632675     		φ = 0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74927707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122888 KachelY 57352 2.74927707 0.38262265 157.521973 21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 122889 KachelY 57352 2.74932500 0.38262265 157.524719 21.922663
    Unten links KachelX 122888 KachelY + 1 57353 2.74927707 0.38257818 157.521973 21.920115
    Unten rechts KachelX + 1 122889 KachelY + 1 57353 2.74932500 0.38257818 157.524719 21.920115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38262265-0.38257818) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38262265-0.38257818) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74927707-2.74932500) × cos(0.38262265) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 283.280888853656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74927707-2.74932500) × cos(0.38257818) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.927705250479271 × 6371000     		du = 283.285958525557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38262265)-sin(0.38257818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927705250479271)×R²
    abs(2.74932500-2.74927707)×1.66021685832352e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.66021685832352e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.66021685832352e-05×40589641000000     		ar = 80259.3978610479m²