Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12289 / 12287
↖ ↑ ↗
← S 66.504502°
E 90.021973°		 ← 974.08 m → S 66.504502°
E 90.043945°		 →
↑
973.87 m
↓
↑
973.87 m
↓
S 66.513260°
E 90.021973°		 ← 973.74 m →
948 461 m²		 S 66.513260°
E 90.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750091552734375 y=0.749969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750091552734375 × 214)
    floor (0.750091552734375 × 16384)
    floor (12289.5)     		tx = 12289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749969482421875 × 214)
    floor (0.749969482421875 × 16384)
    floor (12287.5)     		ty = 12287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12289 / 12287 ti = "14/12289/12287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12289/12287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12289 ÷ 214
    12289 ÷ 16384     		x = 0.75006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12287 ÷ 214
    12287 ÷ 16384     		y = 0.74993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75006103515625 × 2 - 1) × π
    0.5001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57117982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.4998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57041283155304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57117982} λ = 1.57117982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57041283155304))-π/2
    2×atan(0.207959312467405)-π/2
    2×0.205036899839609-π/2
    0.410073799679217-1.57079632675     		φ = -1.16072253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57117982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16072253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.504502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12289 KachelY 12287 1.57117982 -1.16072253 90.021973 -66.504502
    Oben rechts KachelX + 1 12290 KachelY 12287 1.57156332 -1.16072253 90.043945 -66.504502
    Unten links KachelX 12289 KachelY + 1 12288 1.57117982 -1.16087539 90.021973 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 12290 KachelY + 1 12288 1.57156332 -1.16087539 90.043945 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16072253--1.16087539) × R
    0.000152860000000032 × 6371000     		dl = 973.871060000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16072253--1.16087539) × R
    0.000152860000000032 × 6371000     		dr = 973.871060000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57117982-1.57156332) × cos(-1.16072253) × R
    0.000383500000000092 × 0.398677007476212 × 6371000     		do = 974.078960811201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57117982-1.57156332) × cos(-1.16087539) × R
    0.000383500000000092 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 973.736434545938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16072253)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398677007476212-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57156332-1.57117982)×0.000140191249283772×R²
    0.000383500000000092×0.000140191249283772×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140191249283772×40589641000000     		ar = 948460.523728526m²