Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12290 / 20482
↖ ↑ ↗
← S 40.996484°
W 44.978027°		 ← 922.03 m → S 40.996484°
W 44.967041°		 →
↑
921.95 m
↓
↑
921.95 m
↓
S 41.004775°
W 44.978027°		 ← 921.92 m →
850 012 m²		 S 41.004775°
W 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375076293945312 y=0.625076293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375076293945312 × 215)
    floor (0.375076293945312 × 32768)
    floor (12290.5)     		tx = 12290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625076293945312 × 215)
    floor (0.625076293945312 × 32768)
    floor (20482.5)     		ty = 20482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12290 / 20482 ti = "15/12290/20482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12290/20482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12290 ÷ 215
    12290 ÷ 32768     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20482 ÷ 215
    20482 ÷ 32768     		y = 0.62506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.78578165857196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78578165857196))-π/2
    2×atan(0.455763311216916)-π/2
    2×0.427636349509866-π/2
    0.855272699019731-1.57079632675     		φ = -0.71552363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71552363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.996484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12290 KachelY 20482 -0.78501467 -0.71552363 -44.978027 -40.996484
    Oben rechts KachelX + 1 12291 KachelY 20482 -0.78482292 -0.71552363 -44.967041 -40.996484
    Unten links KachelX 12290 KachelY + 1 20483 -0.78501467 -0.71566834 -44.978027 -41.004775
    Unten rechts KachelX + 1 12291 KachelY + 1 20483 -0.78482292 -0.71566834 -44.967041 -41.004775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71552363--0.71566834) × R
    0.000144710000000048 × 6371000     		dl = 921.947410000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71552363--0.71566834) × R
    0.000144710000000048 × 6371000     		dr = 921.947410000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78482292) × cos(-0.71552363) × R
    0.000191750000000046 × 0.754749836760443 × 6371000     		do = 922.032024517872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78482292) × cos(-0.71566834) × R
    0.000191750000000046 × 0.754654897258001 × 6371000     		du = 921.916042695312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71552363)-sin(-0.71566834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754749836760443-0.754654897258001)×R²
    abs(-0.78482292--0.78501467)×9.49395024425481e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49395024425481e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49395024425481e-05×40589641000000     		ar = 850011.573854673m²