Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12290 / 28670
↖ ↑ ↗
← S 79.167206°
W 44.978027°		 ← 229.60 m → S 79.167206°
W 44.967041°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 79.169271°
W 44.978027°		 ← 229.56 m →
52 713 m²		 S 79.169271°
W 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375076293945312 y=0.874954223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375076293945312 × 215)
    floor (0.375076293945312 × 32768)
    floor (12290.5)     		tx = 12290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874954223632812 × 215)
    floor (0.874954223632812 × 32768)
    floor (28670.5)     		ty = 28670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12290 / 28670 ti = "15/12290/28670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12290/28670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12290 ÷ 215
    12290 ÷ 32768     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28670 ÷ 215
    28670 ÷ 32768     		y = 0.87493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.7498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35581099492804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35581099492804))-π/2
    2×atan(0.094816579580021)-π/2
    2×0.0945339629944802-π/2
    0.18906792598896-1.57079632675     		φ = -1.38172840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38172840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.167206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12290 KachelY 28670 -0.78501467 -1.38172840 -44.978027 -79.167206
    Oben rechts KachelX + 1 12291 KachelY 28670 -0.78482292 -1.38172840 -44.967041 -79.167206
    Unten links KachelX 12290 KachelY + 1 28671 -0.78501467 -1.38176444 -44.978027 -79.169271
    Unten rechts KachelX + 1 12291 KachelY + 1 28671 -0.78482292 -1.38176444 -44.967041 -79.169271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38172840--1.38176444) × R
    3.60399999999039e-05 × 6371000     		dl = 229.610839999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38172840--1.38176444) × R
    3.60399999999039e-05 × 6371000     		dr = 229.610839999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78482292) × cos(-1.38172840) × R
    0.000191750000000046 × 0.187943513237615 × 6371000     		do = 229.59917255402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78482292) × cos(-1.38176444) × R
    0.000191750000000046 × 0.187908115354172 × 6371000     		du = 229.55592911024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38172840)-sin(-1.38176444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187943513237615-0.187908115354172)×R²
    abs(-0.78482292--0.78501467)×3.53978834423674e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53978834423674e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53978834423674e-05×40589641000000     		ar = 52713.4942975914m²