Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12291 / 20475
↖ ↑ ↗
← S 40.938415°
W 44.967041°		 ← 922.84 m → S 40.938415°
W 44.956055°		 →
↑
922.78 m
↓
↑
922.78 m
↓
S 40.946714°
W 44.967041°		 ← 922.73 m →
851 524 m²		 S 40.946714°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375106811523438 y=0.624862670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375106811523438 × 215)
    floor (0.375106811523438 × 32768)
    floor (12291.5)     		tx = 12291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624862670898438 × 215)
    floor (0.624862670898438 × 32768)
    floor (20475.5)     		ty = 20475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12291 / 20475 ti = "15/12291/20475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12291/20475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12291 ÷ 215
    12291 ÷ 32768     		x = 0.375091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20475 ÷ 215
    20475 ÷ 32768     		y = 0.624847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.24969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.784439425382599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78482292} λ = -0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784439425382599))-π/2
    2×atan(0.456375462592768)-π/2
    2×0.428143097633136-π/2
    0.856286195266272-1.57079632675     		φ = -0.71451013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71451013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.938415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12291 KachelY 20475 -0.78482292 -0.71451013 -44.967041 -40.938415
    Oben rechts KachelX + 1 12292 KachelY 20475 -0.78463117 -0.71451013 -44.956055 -40.938415
    Unten links KachelX 12291 KachelY + 1 20476 -0.78482292 -0.71465497 -44.967041 -40.946714
    Unten rechts KachelX + 1 12292 KachelY + 1 20476 -0.78463117 -0.71465497 -44.956055 -40.946714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71451013--0.71465497) × R
    0.000144840000000035 × 6371000     		dl = 922.775640000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71451013--0.71465497) × R
    0.000144840000000035 × 6371000     		dr = 922.775640000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78482292--0.78463117) × cos(-0.71451013) × R
    0.000191749999999935 × 0.755414317901776 × 6371000     		do = 922.843780760475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78482292--0.78463117) × cos(-0.71465497) × R
    0.000191749999999935 × 0.755319403939046 × 6371000     		du = 922.727830138231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71451013)-sin(-0.71465497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755414317901776-0.755319403939046)×R²
    abs(-0.78463117--0.78482292)×9.49139627303142e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49139627303142e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49139627303142e-05×40589641000000     		ar = 851524.263695461m²