Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12292 / 12292
↖ ↑ ↗
← S 66.548264°
E 90.087891°		 ← 972.34 m → S 66.548264°
E 90.109863°		 →
↑
972.15 m
↓
↑
972.15 m
↓
S 66.557006°
E 90.087891°		 ← 972 m →
945 097 m²		 S 66.557006°
E 90.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750274658203125 y=0.750274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750274658203125 × 214)
    floor (0.750274658203125 × 16384)
    floor (12292.5)     		tx = 12292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750274658203125 × 214)
    floor (0.750274658203125 × 16384)
    floor (12292.5)     		ty = 12292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12292 / 12292 ti = "14/12292/12292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12292/12292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12292 ÷ 214
    12292 ÷ 16384     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12292 ÷ 214
    12292 ÷ 16384     		y = 0.750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.50048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57233030753784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57233030753784))-π/2
    2×atan(0.207560937539171)-π/2
    2×0.204655008956599-π/2
    0.409310017913198-1.57079632675     		φ = -1.16148631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16148631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.548264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12292 KachelY 12292 1.57233031 -1.16148631 90.087891 -66.548264
    Oben rechts KachelX + 1 12293 KachelY 12292 1.57271380 -1.16148631 90.109863 -66.548264
    Unten links KachelX 12292 KachelY + 1 12293 1.57233031 -1.16163890 90.087891 -66.557006
    Unten rechts KachelX + 1 12293 KachelY + 1 12293 1.57271380 -1.16163890 90.109863 -66.557006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16148631--1.16163890) × R
    0.000152590000000119 × 6371000     		dl = 972.150890000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16148631--1.16163890) × R
    0.000152590000000119 × 6371000     		dr = 972.150890000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57271380) × cos(-1.16148631) × R
    0.000383490000000153 × 0.397976435185511 × 6371000     		do = 972.341912517106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57271380) × cos(-1.16163890) × R
    0.000383490000000153 × 0.397836445152434 × 6371000     		du = 971.999886797838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16148631)-sin(-1.16163890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397976435185511-0.397836445152434)×R²
    abs(1.57271380-1.57233031)×0.000139990033077408×R²
    0.000383490000000153×0.000139990033077408×6371000²
    0.000383490000000153×0.000139990033077408×40589641000000     		ar = 945096.807168397m²