Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12292 / 20484
↖ ↑ ↗
← S 41.013066°
W 44.956055°		 ← 921.75 m → S 41.013066°
W 44.945069°		 →
↑
921.76 m
↓
↑
921.76 m
↓
S 41.021355°
W 44.956055°		 ← 921.64 m →
849 577 m²		 S 41.021355°
W 44.945069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375137329101562 y=0.625137329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375137329101562 × 215)
    floor (0.375137329101562 × 32768)
    floor (12292.5)     		tx = 12292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625137329101562 × 215)
    floor (0.625137329101562 × 32768)
    floor (20484.5)     		ty = 20484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12292 / 20484 ti = "15/12292/20484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12292/20484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12292 ÷ 215
    12292 ÷ 32768     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20484 ÷ 215
    20484 ÷ 32768     		y = 0.6251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786165153768921))-π/2
    2×atan(0.455588561686058)-π/2
    2×0.427491646245776-π/2
    0.854983292491552-1.57079632675     		φ = -0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12292 KachelY 20484 -0.78463117 -0.71581303 -44.956055 -41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 12293 KachelY 20484 -0.78443943 -0.71581303 -44.945069 -41.013066
    Unten links KachelX 12292 KachelY + 1 20485 -0.78463117 -0.71595771 -44.956055 -41.021355
    Unten rechts KachelX + 1 12293 KachelY + 1 20485 -0.78443943 -0.71595771 -44.945069 -41.021355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71581303--0.71595771) × R
    0.000144680000000008 × 6371000     		dl = 921.756280000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71581303--0.71595771) × R
    0.000144680000000008 × 6371000     		dr = 921.756280000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78443943) × cos(-0.71581303) × R
    0.000191739999999996 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 921.751984585498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78443943) × cos(-0.71595771) × R
    0.000191739999999996 × 0.75446500366247 × 6371000     		du = 921.635994260064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71581303)-sin(-0.71595771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.75446500366247)×R²
    abs(-0.78443943--0.78463117)×9.49514144941155e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49514144941155e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49514144941155e-05×40589641000000     		ar = 849577.224470548m²