Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12292 / 28676
↖ ↑ ↗
← S 79.179587°
W 44.956055°		 ← 229.33 m → S 79.179587°
W 44.945069°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 79.181650°
W 44.956055°		 ← 229.28 m →
52 593 m²		 S 79.181650°
W 44.945069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375137329101562 y=0.875137329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375137329101562 × 215)
    floor (0.375137329101562 × 32768)
    floor (12292.5)     		tx = 12292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875137329101562 × 215)
    floor (0.875137329101562 × 32768)
    floor (28676.5)     		ty = 28676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12292 / 28676 ti = "15/12292/28676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12292/28676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12292 ÷ 215
    12292 ÷ 32768     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28676 ÷ 215
    28676 ÷ 32768     		y = 0.8751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35696148051892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35696148051892))-π/2
    2×atan(0.0947075571978028)-π/2
    2×0.0944259109038883-π/2
    0.188851821807777-1.57079632675     		φ = -1.38194450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38194450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.179587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12292 KachelY 28676 -0.78463117 -1.38194450 -44.956055 -79.179587
    Oben rechts KachelX + 1 12293 KachelY 28676 -0.78443943 -1.38194450 -44.945069 -79.179587
    Unten links KachelX 12292 KachelY + 1 28677 -0.78463117 -1.38198050 -44.956055 -79.181650
    Unten rechts KachelX + 1 12293 KachelY + 1 28677 -0.78443943 -1.38198050 -44.945069 -79.181650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38194450--1.38198050) × R
    3.6000000000147e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38194450--1.38198050) × R
    3.6000000000147e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78443943) × cos(-1.38194450) × R
    0.000191739999999996 × 0.187731259787686 × 6371000     		do = 229.327915050018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78443943) × cos(-1.38198050) × R
    0.000191739999999996 × 0.187695899730545 × 6371000     		du = 229.284720069122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38194450)-sin(-1.38198050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187731259787686-0.187695899730545)×R²
    abs(-0.78443943--0.78463117)×3.53600571404711e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53600571404711e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53600571404711e-05×40589641000000     		ar = 52592.7797765879m²