Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12293 / 28677
↖ ↑ ↗
← S 79.181650°
W 44.945069°		 ← 229.30 m → S 79.181650°
W 44.934082°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 79.183712°
W 44.945069°		 ← 229.25 m →
52 571 m²		 S 79.183712°
W 44.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375167846679688 y=0.875167846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375167846679688 × 215)
    floor (0.375167846679688 × 32768)
    floor (12293.5)     		tx = 12293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875167846679688 × 215)
    floor (0.875167846679688 × 32768)
    floor (28677.5)     		ty = 28677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12293 / 28677 ti = "15/12293/28677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12293/28677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12293 ÷ 215
    12293 ÷ 32768     		x = 0.375152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28677 ÷ 215
    28677 ÷ 32768     		y = 0.875152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.24969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78443943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.75030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3571532281174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78443943} λ = -0.78443943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3571532281174))-π/2
    2×atan(0.0946893989921039)-π/2
    2×0.0944079140900486-π/2
    0.188815828180097-1.57079632675     		φ = -1.38198050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78443943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.945069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38198050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.181650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12293 KachelY 28677 -0.78443943 -1.38198050 -44.945069 -79.181650
    Oben rechts KachelX + 1 12294 KachelY 28677 -0.78424768 -1.38198050 -44.934082 -79.181650
    Unten links KachelX 12293 KachelY + 1 28678 -0.78443943 -1.38201649 -44.945069 -79.183712
    Unten rechts KachelX + 1 12294 KachelY + 1 28678 -0.78424768 -1.38201649 -44.934082 -79.183712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38198050--1.38201649) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38198050--1.38201649) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78443943--0.78424768) × cos(-1.38198050) × R
    0.000191750000000046 × 0.187695899730545 × 6371000     		do = 229.296678174954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78443943--0.78424768) × cos(-1.38201649) × R
    0.000191750000000046 × 0.187660549252491 × 6371000     		du = 229.253492643456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38198050)-sin(-1.38201649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187695899730545-0.187660549252491)×R²
    abs(-0.78424768--0.78443943)×3.53504780547798e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53504780547798e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53504780547798e-05×40589641000000     		ar = 52571.009378501m²