Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12294 / 4102
↖ ↑ ↗
← N 66.460663°
E 90.131836°		 ← 975.77 m → N 66.460663°
E 90.153808°		 →
↑
975.97 m
↓
↑
975.97 m
↓
N 66.451886°
E 90.131836°		 ← 976.11 m →
952 491 m²		 N 66.451886°
E 90.153808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750396728515625 y=0.250396728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750396728515625 × 214)
    floor (0.750396728515625 × 16384)
    floor (12294.5)     		tx = 12294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250396728515625 × 214)
    floor (0.250396728515625 × 16384)
    floor (4102.5)     		ty = 4102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12294 / 4102 ti = "14/12294/4102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12294/4102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12294 ÷ 214
    12294 ÷ 16384     		x = 0.7503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4102 ÷ 214
    4102 ÷ 16384     		y = 0.2503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7503662109375 × 2 - 1) × π
    0.500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57309730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2503662109375 × 2 - 1) × π
    0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57309730} λ = 1.57309730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56849535556824))-π/2
    2×atan(4.79942133562435)-π/2
    2×1.36537686392616-π/2
    2.73075372785233-1.57079632675     		φ = 1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57309730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12294 KachelY 4102 1.57309730 1.15995740 90.131836 66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 12295 KachelY 4102 1.57348079 1.15995740 90.153808 66.460663
    Unten links KachelX 12294 KachelY + 1 4103 1.57309730 1.15980421 90.131836 66.451886
    Unten rechts KachelX + 1 12295 KachelY + 1 4103 1.57348079 1.15980421 90.153808 66.451886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15995740-1.15980421) × R
    0.000153190000000025 × 6371000     		dl = 975.973490000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15995740-1.15980421) × R
    0.000153190000000025 × 6371000     		dr = 975.973490000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57309730-1.57348079) × cos(1.15995740) × R
    0.000383490000000153 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 975.767665330675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57309730-1.57348079) × cos(1.15980421) × R
    0.000383490000000153 × 0.399519022631707 × 6371000     		du = 976.110784980521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15995740)-sin(1.15980421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399519022631707)×R²
    abs(1.57348079-1.57309730)×0.000140437775364821×R²
    0.000383490000000153×0.000140437775364821×6371000²
    0.000383490000000153×0.000140437775364821×40589641000000     		ar = 952490.813466755m²